143

---

§ 3. Основні показники рядів динаміки і техніка їх обчислення

Залежно від того, який ряд динаміки аналізується, можна обчислювати в ньому різні показники.

В моментних рядах динаміки можна обчислювати лише середній рівень ряду за формулою середньої хронологічної.

Середня хронологічна проста застосовується і обчислюється в повних моментних рядах динаміки. Наведемо формулу її розрахунку і на наступному прикладі пояснимо техніку її обчислення. Протягом 2002 р. була така кількі­сть незакінчених розслідуванням кримінальних справ в районному відділі внутрішніх справ: на 1 січня – 26 справ, на 1 люте – 29 , на 1 березня – 30, на 1 квітня – 24, на 1 травня – 35, на 1 червня – 38, на 1 липня – 28 справ. Необ­хідно обчислити середню кількість незакінчених розслідуванням криміналь­них справ за кожний квартал і півріччя в цілому.

За наведеними даними видно, що цей моментний ряд динаміки повний. Середня хронологічна проста обчислюється таким чином: підсумовуються повністю усі рівні ряду, крім першого і останнього, які беруться в половин­ному розмірі, і одержану суму поділяють на кількість рівнів ряду без одини­ці. Застосування такої формули пояснюється метою виключення повторення обліку показників, тому що рівень на 1 квітня характеризує рівень як першого, так і другого кварталу.

Формула середньої хронологічної матиме такий вигляд:

де: y – середній рівень ряду; у1 – перший рівень ряду; уn – останній рівень ряду; уn-1 – передостанній рівень ряду; n – кількість рівнів ряду.

За наведеними даними одержуємо, наприклад, середній залишок неза­кінчених розслідуванням кримінальних справ в першому кварталі склав 28 справи ((0,5 х 26 + 29 + 30 + 0,5 х 24) : 3); в д

ругому – 33 справи ((0,5 х 24 + 35 + 38 + 0,5 х 28) : 3). Якщо ми під­сумуємо ці дані, обчислені за середньою хронологічною, і поділимо на два, то в результаті одержимо середній зали­шок нерозглянутих кримінальних справ за півріччя, який дорівнює 30,5 спра­ви ((28 + 33) : 2).

Середній залишок за півріччя можна обчислити й за середньою хроно­логічною простою ((0,5 х 26 + 29 + 30 + 24 + 35 + 38 + … + 0,5 х 28) : 6). Ре­зультат буде однаковий, в нашому прикладі – 30,5 справи.

Якщо моментний ряд динаміки буде неповним, тобто проміжки між да­тами, які наведені в ряду динаміки, різні, то середній рівень обчислюється за середньою хронологічною зваженою, де в якості ваги приймаються (відрізки) проміжки часу між рівнями ряду.

Наведемо формулу середньої хронологічної зваженої:

де: y – середній рівень ряду; t – проміжки часу між значеннями рівнів ряду; ? – знак підсумовування.

За умовними даними, які характеризують рух осіб, які відбувають пока­рання в місцях позбавлення волі, обчислимо їх середню кількість у вигляді середньої хронологічної зваженої. Наприклад, на 1 жовтня в виправно-тру­довому закладі знаходилося 600 осіб, 15 жовтня прибуло 15, 25 жовтня вибу­ло 10, 6 листопада прибуло 22, 20 листопада вибуло 7, 11 грудня прибуло 9, 22 грудня вибуло 5 осіб. Необхідно обчислити середню спискову чисельні­сть осіб, які відбували покарання в цьому закладі. Спочатку слід обчислити рівні ряду на кожну дату. На 1 жовтня було 600 осіб, 15 жовтня – 615, 25 жовтня – 605, 6 листопада – 627, 20 листопада – 620, 11 грудня – 629, 22 грудня – 624 особи. Після цього, щоб спростити розрахунок, будемо вважати, що в кожному місяці – 30 днів, в кварталі – 90 днів. В економічних розрахун­ках такі припущення застосовуються завжди. Відповідно до наведеної фор­мули кожний обчислений рівень слід перемножити на кількість днів, скільки днів цей рівень існував. В результаті розрахунків одержимо середній рівень кількості осіб, які відбували покарання протягом четвертого кварталу – 616,8 осіб (( 600 х 15 + 615 х 10 + … + 605 х 11 + 627 х 14 + 620 х 21 + 629 х 11 + 624 х 8 ) : 90).

Більше ніяких показників, крім середнього рівня, в моментних рядах динаміки обчислити не можна.

В інтервальних рядах динаміки можна обчислити і обов`язково обчис­люються такі показники, як середній рівень ряду, абсолютний приріст (змен­шення), темп зростання (зниження), темп приросту (зменшення), абсолютне значення одного відсотку приросту, середній темп зростання (зниження), середній темп приросту (зменшення).

Середній рівень треба обчислювати в повному інтервальному ряду за се­редньою хронологічною простою, техніка обчислення якої не відрізняється від обчислення середньою арифметичною простою, тобто за такою форму­лою:

де: y – середній рівень ряду; n – число рівнів ряду.

Вважаємо, що середній рівень не можна обчислювати в неповному інтервальному ряду динаміки. Тому його завжди слід привести до повного ряду, а лише потім аналізувати.

Абсолютний приріст, темп зростання та темп приросту, якщо коли наве­дено більше ніж два рівня можна обчислювати двома способами: ланцюго­вим і базисним. Вирішення питання, яким способом проводити обчислення залежить від мети і завдань дослідження. Якщо ми бажаємо встановити тен­денції у розвитку досліджуваного явища за тривалий період часу, то в цьому випадку застосовуємо базисний спосіб. Якщо ж бажаємо встановити характер розвитку динаміки за короткі періоди часу, то використовуємо ланцюговий спосіб.

При обчисленні цих показників базисним способом значення кожного іс­нуючого рівня ряду динаміки порівнюється з першим (початковим) рівнем. Залежно від того, який рівень прийнято за базу порівняння, ми можемо одер­жати зовсім різні значення показників. Рівень якого періоду часу приймати за базу порівняння, залежить від того, яка мета усього дослідження і від того, які первинні або зведенні дані, ми маємо у своєму розпорядженню, та від ін­ших умов і причин, які впливають на вибір бази порівняння. Найчастіше за такий рівень береться рівень останнього року десятиліття. Наприклад, в табл. 19, яка наведена нижче, це рівень 1990 р. Базисний спосіб застосовується тоді, коли слід проаналізувати зміни явища за тривалий проміжок часу.

При обчисленні цих показників ланцюговим способом одержуємо дані, які характеризують зміну кожного існуючого показника по відношенню до попереднього рівня ряду. Таким чином, ніщо не впливає на одержаний ре­зультат, крім дійсної зміни явища. Ланцюговий спосіб дає змогу проаналізу­вати зміну явища за короткий проміжок часу.

В табл. 19 наведені дані про злочинність в Україні за останні одинадцять років і за цими даними повного інтервального ряду динаміки обчислимо усі показники динаміки.

Таблиця 19.

Злочинність в Україні в 1990 – 2002 роках.

Спочатку обчислимо середній рівень цього ряду динаміки. Застосуємо формулу середньої хронологічної для інтервального ряду динаміки. Середня величина злочинності за ці тринадцять років складе 529448 злочинів ((369809 + 405516 + 480478 + 539299 + 571632 + 641860 + 617262 + 589208 + 575982 + 558716 + 567800 + 514600 + 450661) : 13).

Абсолютний приріст – це показник, який характеризує, на скільки оди­ниць один рівень більше чи менше якогось попереднього рівня. Він обов`яз­ково виражається в тих саме одиницях виміру, що й рівні ряду. Абсолютний приріст обчислюється шляхом віднімання від існуючого рівня ряду якогось попереднього або базисного рівня. Абсолютні прирости можуть мати знак плюс або мінус. Знак плюс підкреслює, що розмір явища зріс і в дійсності явище мало тенденцію до зростання; знак мінус підкреслює зменшення величини явища і характеризує абсолютне зменшення явища.

У загальному виді формулу можна навести таку:

Апр = уі – уі-1 , або Апр = уі – у1,

де: Апр – абсолютний приріст; уі – рівень ряду динаміки; уі-1 – попередній йому рівень ряду динаміки; у1 – початковий рівень ряду динаміки.

За даними табл. 19 видно, що злочинність за ці роки спочатку зростала, але з 1996 р. почала зменшуватися. В 1996 р. порівняно до 1995 р. ми одержали зменшення рівня злочинності на 24598 злочинів (617262 – 641860), в 1997 р. порівняно до 1996 р. зменшення рівня на 28054 злочинів (589208 – 617262) і в 1998 р. порівняно до 1997 р. зменшення на 13226 злочинів. В 2000 р. порівняно до 1999 р. відбулося незначне збільшення кількості зареєстро­ваних злочинів на 9084 злочинів (567800 – 558716).(В стовпчику 3 табл. 19 наведені абсолютні прирости, обчислені базисним способом; а в стовпчику 4 – ланцюговим способом).

Базу порівняння (1990 р.) вибрано довільно. Наведені в стовпчику 3 дані підтверджують тезу, що базисний спосіб і його висновки залежать від того, який рівень взято за базу порівняння.

Абсолютний приріст не може дати вичерпної характеристики зміни явищ, але він вказує на загальну тенденцію зміни явищ за аналізований термін часу.

Більш вичерпну і всебічну характеристику розвитку явища можна одер­жати лише тоді, коли наведений абсолютний показник (абсолютний приріст), доповнити відносними показниками: темпом зростання і темпом приросту.

Темп зростання – це відношення поточного рівня до попереднього або базисного. Темп зростання показує, в скільки разів поточний рівень ряду ди­наміки більше або менше рівня, який прийнято за базу порівняння. Цей по­казник може обчислюватися у коефіцієнтах або у відсотках. У вигляді фор­мули даний показник матиме такий вигляд:

,

де: Т зр – темп зростання; уі – рівень ряду динаміки; уі – 1 – попередній йому рівень ряду динаміки; у1 – початковий рівень ряду динаміки.

В стовпчику 5 табл. 19 наведені темпи зростання, обчислені базисним способом (по відношенню до 1990 р.), а в стовпчику 6 – ланцюговим способом.

Якщо величина темпу зростання більше одиниці або ста відсотків, то це свідчить про те, що поточний рівень ряду динаміки більше рівня, з яким про­водиться порівняння. Якщо величина темпу зростання дорівнює одиниці або ста відсоткам, то це характеризує, що не відбувалось ніякої зміни в рівнях ря­ду. Якщо величина темпу зростання менше за одиницю або сто відсотків, то це свідчить про те, що відбулося зменшення рівня ряду. В цьому випадку го­ворять не про темп зростання, а про темп зниження або падіння. Цей показ­ник не може мати знака мінус, що б він не характеризував.

Наведемо приклад за даними табл. 19, який дасть змогу зрозуміти, як слід обчислювати цей показник. Візьмемо дані 1993 р. Темп зростання в цьому році по відношенню до 1990 р. (базисний спосіб) становив 145,8 % (539299 : 369809 х 100); по відношенню до попереднього, тобто до рівня 1992 р. (ланцюговий спосіб) становив 112,2 % (539299 : 480478 х 100). Дані по усіх роках, наведені в стовпчиках 5 і 6 табл. 19 обчислені аналогічно.

Темп приросту характеризує, наскільки відсотків один рівень ряду біль­ше чи менше іншого рівня. Він обчислюється, як відношення абсолютного приросту до рівня ряду, з яким провадиться порівняння. У вигляді формули можна записати таким чином:

.

Перша формула, це темпи приросту, які обчислені ланцюговий способом; друга – базисним способом.

Темп приросту можна обчислювати й спрощеним способом – шляхом віднімання від показника темпу зростання 100 % або одиниці, якщо темпи зростання наведені у вигляді коефіцієнтів. Як правило, на практиці завжди використовують цей спрощений спосіб, тому що він дає змогу швидше одер­жати результат.

У вигляді формули можна записати так:

Тпр = Т зр – 100 %,

де: Тпр – темп приросту; Т зр – темп зростання.

Хоча темп приросту є відносною величиною, він, як і абсолютний при­ріст, може мати знак мінус. Якщо темп приросту має знак плюс, то це свід­чить про те, що явище зросло, якщо ж темп приросту має знак мінус, то яви­ще зменшилося.

За даними табл. 19 пояснимо обчислення темпів приросту. Візьмемо 1995 р. і порівнюватимемо його дані з даними 1994 р. За даними, наведеними в стовпчику 4, бачимо, що абсолютний приріст склав 70228. Якщо застосува­ти перший спосіб одержання результату, то необхідно поділити цей абсолютний приріст на рівень 1994 р. і помножити результат ділення на 100 %, тобто (70228 : 571632 х 100 %). В результаті маємо 12, 2 %. Якщо б був застосований спрощений спосіб обчислення, то від значення, наведеного в стовпчику 6, треба відняти 100 % і зразу одержуємо результат – 12,2 %, який і записано в стовпчику 8 табл. 19.

Аналізуючи відносні величини показників інтервального ряду динаміки (темпи зростання і темпи приросту) не можна використовувати їх окремо від абсолютних показників, тому що іноді уповільнення темпів зростання не су­проводжується зменшенням абсолютних приростів. Для того щоб вірно оці­нити значення темпів приросту, їх розглядають в порівнянні з абсолютним приростом, обчислюючи абсолютне значення одного відсотку приросту.

Абсолютне значення одного відсотка приросту характеризує, скільки одиниць досліджуваного явища знаходиться в одному відсотку його зміни. Цей показник обчислюється шляхом ділення абсолютного приросту на темп приросту за один і той же проміжок часу. Порівнюються при цьому лише по­казники, які обчисленні ланцюговим способом. На практиці шляхом матема­тичного перетворення формули обчислення цього показника доведено, що абсолютне значення одного відсотка приросту дорівнює одній сотій частині базисного рівня, що він в 100 разів менше за попередній рівень ряду динамі­ки. У вигляді формули можна зробити підтвердження цього висновку:

?А? = .

Останній стовпчик табл. 19 обраховано таким способом.

Щоб перевірити цю тезу обчислимо, наприклад, абсолютне значення одного відсотка приросту в 1992 р.: поділимо 74962 на 18,5 %. Ми одержали 4052. Але щоб обчислити темп приросту з більшим ступенем значущості, слід було поділити його не на 18,5 %, а 18,486 %. Якщо ми дійсно поділимо 74962 на 18,486 %, то одержимо 4055 одиниць, таким чином в 1992 р. кожний відсоток приросту складав 4055 злочинів.

Наведені дані свідчать, що починаючи з 1997 р. зменшилося абсолютне значення одного відсотка приросту по відношенню до попереднього періоду. До цього періоду (з 1990 р. по 1996 р.) відбувалось неухильне зростання даного показника.

Середній темп зростання (зниження). Після обчислення темпів зро­стання виникає потреба обчислити середній темп зростання, щоб охаракте­ризувати тенденції розвитку явища. Середній темп зростання можна обчис­лювати і тоді, коли ми маємо неповний ряд динаміки (лише початковий і ос­танній рівень), де проміжні рівні відсутні. Деякі вчені вважають, що обчис­лювати середній темп зростання можна лише у разі, коли явище протягом усього досліджуваного періоду має або неухильне зростання, або зменшення. На нашу думку, це не обов`язково, тим більш, що суспільним явищам прита­манні коливання кожного аналізованого періоду.

Середній темп зростання характеризує, у скільки разів збільшувався або зменшувався рівень за певний період. За даними табл. 19 можна обчислити середньорічний темп зростання рівня злочинності в Україні.

Середній темп зростання обчислюється за формулою середньої геомет­ричної з темпів зростання, які обчислені ланцюговим способом:

де: m – кількість співмножників; T1, Т2,…, Тm – темпи зростання, обчислені ланцюговим способом у коефіцієнтах.

Середній темп зростання можна обчислити з рівнів ряду, попередньо не обчислюючи темпи зростання. В цьому разі формула середньої геометричної для обчислення середнього темпу зростання матиме такий вигляд:

де yn – останній член ряду динаміки, y1 – перший член ряду динаміки.

Незалежно від того, обчислювалися темпи зростання чи ні, більш прості­ший і точніший результат ми одержуємо за другою формулою. За даними, наведеними в табл. 19, обчислимо середній темп зростання злочинності в Ук­раїні за період з 1990 по 2002 р. Для цього необхідно поділити рівень 2002 р. (450661) на рівень 1990 р. (369809) і з цієї величини здобути корінь дванадця­того ступеня (на одиницю менше, ніж рівнів ряду). В результаті цих арифме­тичних дій одержали, що середньорічний темп зростання дорівнює 101,53 %. Корінь якого завгодно ступеня можна обчислювати або за допомогою спеці­альних таблиць, або використовуючи відповідну обчислювальну техніку.

Середній темп приросту характеризує як щорічно змінювався рівень ряду. Реально він може мати знак плюс, що свідчить про зростання явища, або мінус, якщо явище зменшувалося. Обчислювати цей показник можна ли­ше після одержання середнього темпу зростання: від середнього темпу зро­стання у відсотках віднімають 100 %. У загальному вигляді формула матиме такий вигляд:

пр = зр – 100 %,

де : пр – середній темп приросту; зр – середній темп зростання.

За даними табл. 19 можна зробити висновок, що за досліджуваний період злочинність в Україні в середньому зростала щорічно на 1,53 %.

 

< Попередня   Наступна >